宿舍 自慰 泛函分析（第十五篇）： 对偶空间与自反空间

发布日期：2025-01-03 08:24    点击次数：134

系列证据:宿舍 自慰

 本系列和实变函数系列一样， 均为吴培元进修所授课程《实变函数论与泛函分析》的学习札记， 本系列为该课程的第二部分， 主讲泛函分析. 所汲取的课本为 Avner Friedman 所著的 Foundations of Modern Analysis (《当代分析学基础》)， 除此除外， 对于原课程讲授不明晰的地点我还参考了其他书本作了补充(以 Gerald B. Folland 所著 Real Analysis (Modern Techniques and Their Applications) 以及 Halsey Royden 与 Patrick Fitzpatrick 合著的 Real Analysis 为主).

 在上一章中咱们陋劣研究了赋范线性空间以及它上头的畅达线性映射， 况且在临了一节先容 Hahn-Banach 定理时引入了线性泛函、对偶空间等见地. 事实上， 对偶空间这个见地的蹙迫性远比咱们设想的蹙迫， 甚而于咱们有利有个对偶表面(dual theory)来研究它. 在这一章， 咱们就来通过对偶空间来反主义描写原空间. 相似地， 在这一章， 咱们默许总共线性空间所在的域齐是实数域大约复数域.

 回忆一下， 对于一般的线性空间而言， 它的对偶空间是 ， 这个对偶空间有时辰也称作代数对偶空间， 因为对于赋范线性空间而言， 咱们要强化到 ， 有时辰这也就被称作畅达对偶空间了. 天然， 在泛函分析中， 惟有提到赋范线性空间， 齐默许它的对偶空间是指畅达对偶空间， 只提到线性空间那就只然而代数对偶空间了. 因此咱们用  这个象征暗示对偶空间大大齐情况下齐不会产生困惑.

4.1.1 再谈对偶空间

 咱们还是在之前看到过对偶性的理会之一:  与  的对偶性， 它们不错区分暗示为

和

美少妇的哀羞

但是这个抒发式似乎还看不出完全的对偶性， 因为取上确界的齐是 ， 要是将第二个式子中的  替换为  那么对偶性就完全理会出来了， 而这意味着  需要算作是  的对偶空间  之元素， 而这就引入了咱们这一节末节将量度的内容.

 从赋范线性空间  启程， 咱们不错领先得到 ， 然后得到 ， 那么对于  中的元素  而言， 咱们就渴望它作用于纵情  给出一个数 ， 但另一方面， 对于统一个 ， 咱们也不错找到  使得  亦然一个数， 那么咱们就可能找到某个  使得  和  这两个数终点. 在这个意思意思上， 对于 ， 咱们就找到了  使得  对纵情  均建筑(也即是说，  此处的作用是隐去了的). 咱们将这样一个映射  称作  到  的天然镶嵌(natural embedding).  一般而言，  有时是 Banach 空间， 但是  一定是 Banach 空间， 因此它们还没法完全等同起来.

 固然不可完全等同， 但是咱们如实不错考据天然镶嵌有着相等棒的性质: 领先， 笔据  的界说， 咱们有

于是对纵情  以及 ， 咱们也有

对纵情  建筑， 因此

这就证据  是线性映射， 即 . 另一方面， 咱们不错查考  的范数:

这里临了一个等号源自本末节启动提到的阿谁论断(扩充3.4.9). 咫尺戒备， 要是咱们费用量空间的讲话， 就会发现  清脆

换言之，  其实是等距映射， 进而自动是单射(这亦然咱们将其定名为镶嵌的原因). 要而言之， 咱们得到下述论断:

定理4.1.1: 设  是赋范线性空间， 则  到  的天然镶嵌  是等距(即  对纵情  建筑)线性映射， 进而  是等距线性同构.

 除此除外， 因为 ， 咱们就有

这证据天然镶嵌是有界线性映射， 即 ， 也即是说它畅达. 如斯一来， 咱们不错进一步认知扩充3.4.9这个关系了:

中的  其实如实不错交换  和  的位置， 将其看作  也未始不可， 仅仅要将其认知为  完毕， 这样一来，  就同期有了两个变装:  中的元素 ， 以及  中的元素 . 接下来非论咱们若何取对偶空间， 齐只不外在  和  中打圈圈， 因此在某种意思意思上惟有研究底空间与它的对偶空间就弥漫了(天然， 这里触及少许小问题， 因为  比  要大少许， 这个问题咱们会在后头引入关系见地).

 一般而言，  是 Banach 空间， 但是  不是， 因此  和  要等同就意味着  必须亦然 Banach 空间， 这也不及以保证 ， 但至少不错保证  是  的闭子空间. 因为假定 ， 则  即是  中的 Cauchy 列， 进而对纵情 ， 对充分大的  就有

而笔据定理4.1.1， 咱们就得到  对充分大的  建筑， 也即是说  是  中的 Cauchy 列， 于是存在  使得 ， 进而由  的畅达性可得 ， 于是 ， 这标明  是闭子空间.

扩充4.1.2: 设  是 Banach 空间，  是天然镶嵌， 则  是  的闭子空间， 进而是 Banach 空间.

 这里临了一段话是因为命题1.3.4(完备度量空间的闭子集完备).

 谄谀一致有界旨趣， 咱们还不错得到一个灵验扩充:

扩充4.1.3: 设  是 Banach 空间， ， 若  对纵情  齐有界， 则  有界.

证: 戒备到 ， 因此  有界， 咱们取  中的畅达线性映射族 ， 则笔据一致有界旨趣(定理3.3.7)， 咱们就有  有界， 而另一方面， 咱们又有 ， 由此即得扩充. 

4.1.2 自反空间

 前边提到， 一般而言 ， 况且即便  是 Banach 空间也不可保证取到等号， 不错要是等号如实建筑， 则咱们就真信得过正不错将  和  看作是一个东西了， 因为它们等距线性同构， 在已有的结构上齐是同构的(保线性结构、保度量结构、保范数结构、保拓扑结构). 因此这类空间很蹙迫， 值得咱们单独拿出来定名:

界说4.1.4(自反空间): 设  是 Banach 空间，  为天然镶嵌， 若 ， 则称  为自反空间(reflexive space).

 需要戒备的是， 自反空间强调要通过天然镶嵌完毕  和  的等距线性同构， 那么要是  和  等距线性同构， 那么是否就意味着  自反呢? 谜底是抵赖的， 但是反例不好给， 因此咱们就非论了， 毕竟也用不到.

 笔据定理3.4.11， 若  可分则  可分， 但是  可分有时  可分， 不外对于自反空间而言，  可分的充要要求即是  可分了， 因为若  可分， 天然与之同胚的  也可分， 进而  可分. 这即是自反空间性质好的少许. 那么若何的空间是自反空间呢? 这个问题不若何好回报， 不外有个典型的自反空间实例:

定理4.1.5: 有限维赋范线性空间齐是自反空间.

证: 设 ， 它的一组基为 ， 在  中咱们取  清脆

它在向量  上的作用着力为

咱们断言  组成  的一组基. 领先假定  线性关系， 即存在非零数  使得

咱们将其纪律作用于 ， 就不错得到  对纵情  建筑， 这就矛盾了. 接下来咱们讲授它张成 . 任取 ， 要知谈  在职意  的作用终结， 咱们只需要知谈它在  上的终结就不错了， 设 ， 咱们断言 ， 这是因为对纵情 ， 若 ， 则

由  的纵情性即可得知 .

 笔据上述论断， 咱们就得到 ， 同理， 咱们不错讲授 ， 进而  和  维数疏导， 因此它们线性同构. 不仅如斯， 要是咱们取  的基为 ， 它清脆 ， 则天然镶嵌就不错由  连带线性性质界说， 因为

补充线性性质后就不错推得  对纵情  建筑. 而上头界说的  光显是满射， 因此咱们有 ， 即  自反. 

 逐一去找自反空间难免太过难过， 咱们有莫得办法通过找到一例自反空间就找到一堆自反空间呢? 这辅导咱们去查考那些彼此等同的赋范线性空间， 而赋范线性空间等愉快味着它们等距线性同构， 由此咱们不错得到下述算计:

定理4.1.6: 设  是等距线性同构的赋范线性空间， 则  自反的充要要求是  自反.

证: 我么设  自反， 则  是等距线性同构， 另外设  是  和  之间的等距线性同构， 咱们接下来讲授  是满射. 议论到天然镶嵌的界说中触及  和 ， 咱们就需要将这两个空间对应起来， 对应的花式也不难意象: 纵情  作用于  中的元素 ， 要让它作用到  中的元素  从而将其看作  中元素的花式即是哄骗  将  拉回 ， 于是就不错作用得到 ， 这标明 ， 这就给出映射  为 ， 因为这是线性映射的复合， 因此亦然线性的; 另外因为  是等距线性同构， 因此它将单元向量映为单元向量， 进而

这标明  亦然等距映射; 不仅如斯， 对纵情 ， 光显  且 ， 因此  是满射. 轮廓这三点即可看到  是等距线性同构.

 仿照上述操作， 咱们也不错界说  的等距线性同构 ， 其作用为 . 至此， 从  咱们就有  和  这两个合成旅途， 尔后者是等距线性同构， 由此咱们不错证出  亦然等距线性同构. 具体来说， 对纵情 ， 咱们通过第二条旅途逆着走找到  中的元素 ， 咱们咫尺讲授它如实是  在  下的原像， 为此仅需讲授  对纵情  建筑即可， 而这并不难考据:

接下来戒备到  的界说是  对纵情  建筑， 咱们咫尺将  替换为  就不错得到  清脆  对纵情  建筑， 取上头的 ， ， 咱们就得到

这就完成了讲授. 至于必要性， 咱们惟有重叠上头的操作就不错了， 即是本来的总共箭头反向. 

 上述命题惩处了自反空间的分类问题， 那么如何由一个自反空间生成新的自反空间呢? 最天然的作念法天然是查考它的子空间， 而自反空间前提是 Banach 空间， 因此它的子空间也天然得是闭子空间. 于是咱们设  是自反空间，  是它的闭子空间， 设  是包含映射， 仿照上头的操作， 咱们不错将  和  议论起来， 对纵情 ， 以及 ， 就有 ， 进而  有界说， 此时 ， 这即是  的映射 . 哄骗这个映射咱们不错进一步界说  的映射， 具体是先哄骗  将  造成 ， 然后用  作用它即是合理的， 即令 . 咱们这里界说的  和  就不像上头那样是等距线性同构了， 咫尺直不雅上只可保证是线性映射， 不外咱们还不错稍进一步， 戒备到

因此 ， 进而 ， 同理可知 .

 不外不同于上头的定理， 此时咱们没法平直追图得到  的原像. 咱们此时只可通过

悲痛  中的元素， 但是没法进一步通过包含映射  回到 ， 因为  不可逆. 不外既然 ， 说不定悲痛的阿谁元素恰好就在  中呢. 咱们不妨考据一下这个想法是否建筑: 对纵情 ， 有 ， 从而存在  使得 . 接下来咱们的任务即是证据  且 .

 平直讲授  有点难过， 咱们用反证法来获取更多信息. 假定 ， 那么笔据定理3.4.6， 咱们就不错找到  使得  且 . 换言之， ， 这也即是说 ， 进而  对纵情  建筑， 终点地， 就有 . 而笔据咱们的假定， ， 于是 ， 这就与  矛盾了!

 接下来咱们讲授 ， 也即是考据对纵情 ， 均有， 大约说恒有 . 但是咱们已知的信息是对于  的， 因此咱们就要想办法将其膨胀到 ， 这就让咱们想起 Hahn-Banach 定理. 因为 ， 因此笔据定理3.4.5， 咱们不错将  膨胀到 ， 即存在  使得 ， 另外咱们还有 . 因为 ， 于是咱们就有 ， 这就好了， 咱们接下来就有

这就证据纵情  齐在  下有原像. 这就得到了如下论断:

定理4.1.7: 设  为自反空间，  是其闭子空间， 则  亦然自反空间.

 从定理4.1.6启程咱们不错得到一个意思意思意思意思气候， 若  是自反的， 那么它就和  等距线性同构， 而笔据这一定理， 咱们就知谈  也自反， 进而它和  等距线性同构， 进而  也自反， 于是咱们就得到自反空间链 . 这恰好跳过了奇数项 ， 尔后者是  自反的论断. 这就不若何漂亮了， 咱们齐说  和  对偶了， 天然要把对偶关系进行到底(即  清脆的性质  应该也要有). 这就引出了如下定理:

定理4.1.8: 设  为 Banach 空间， 则  自反的充要要求是  也自反.

证: 假定  自反， 则笔据前文所述，  也自反. 要讲授  自反， 咱们就需要讲授  中的纵情元素齐在天然镶嵌下有原像. 为此， 咱们任取 ， 则它同期属于  的对偶空间. 对纵情 ， 镶嵌映射  将其造成 ， 这就允许咱们用  作用于它得到一个数 ， 而这赶巧是  中元素的终结， 因此 . 咱们算计它即是  在镶嵌映射下的原像， 为此咱们就要讲授对纵情 ， 均有 . 具体规划即是了:

如斯就证据  自反.

 接下来假定  自反， 则笔据上述论断，  自反， 而  是  的闭子空间， 因此笔据定理4.1.7它即是自反的， 而 和  等距线性同构(定理4.1.1)， 因此笔据定理4.1.6可知  自反. 

 笔据上述定理咱们就看到， 在  中惟有有一个是自反的， 那么它们就透顶是自反的， 这是获取自反空间的另一个花式.

4.1.3 弱拘谨

 对于赋范线性空间  中的点列 ， 咱们还是界说过一个拘谨花式， 那即是 ， 这种拘谨是依它自己具有的范数界说的， 咱们也将其称作强拘谨(戒备对于有界线性映射序列， 它强拘谨的界说又有所不同， 对应于此处的强拘谨实质上是指一致拘谨). 而对偶空间的存在使得咱们不错界说一种要求更弱的拘谨花式， 那即是咱们这一末节要界说的弱拘谨:

界说4.1.9(弱拘谨): 设  为赋范线性空间，  是它内部的点列， 若存在  使得对纵情  均有 ， 咱们就称  弱拘谨(weakly convergent)到 ， 称  为  的弱极限(weak limit).

 一朝界说了极限， 一些关系见地也就自大出来了. 比如说列紧是说纵情序列齐有拘谨子列， 这就引入弱列紧(weakly sequentially compact)的说法， 也很直不雅， 若  中纵情序列齐有弱拘谨到  中少许的子列， 咱们就称其为弱列紧集(weakly sequentially compact set). 又比如说 Cauchy 列要求纵情两项距离充分近， 那么  为弱 Cauchy 列(weak Cauchy sequence)即是说对纵情 ，  齐是 Cauchy 列. 进一步也就有了弱完备(weakly complete)的说法: 若  中纵情弱 Cauchy 列齐有弱极限， 则称其弱完备. 相似也不错界说弱闭集(weakly closed set)， 若  清脆其中纵情弱拘谨的序列(此处实质有点问题， 严格界说的话不应该用序列， 而是应该用网， 不外在接下来的场景中不会产生大问题)， 其弱极限仍在  中， 咱们就称其为弱闭集. 上述见地齐是一些拓扑见地， 这天然意味着它背后存在一种拓扑结构， 这即是所谓的弱拓扑(weak topology)， 不外这是点集拓扑中的重心， 咱们这里仅清脆于上述界说足矣.

 对于强拘谨咱们知谈它的极限独一， 但是弱拘谨不触及度量， 是否也能保证独一呢? 哄骗 Hahn-Banach 定理的关系扩充咱们如实不错保证这少许. 假定  是弱拘谨序列， 且它弱拘谨于不同的点  和 ， 则对纵情 ， 均有  和 .  但笔据扩充3.4.8， 存在某个线性泛函  使得 ， 咱们取这一泛函就导出了矛盾， 因为数列  的极限是独一的. 因此咱们看到赋范线性空间中弱拘谨序列的弱极限独一.

 另外， 咱们既然称其为弱拘谨， 那就意味着强拘谨比它强， 即强拘谨则弱拘谨， 那是否如斯呢? 谜底亦然折服的， 因为总共的  均畅达， 畅达性保证了若  强拘谨到 ， 则 . 天然咱们也不错不厌其烦给出具体讲授:

其顶用到  有界的论断. 它反过来天然一般是分歧的， 但是要提供反例咱们咫尺的用具还不够. 暂且知谈这少许就好了.(毕竟要是反过来也建筑咱们引入强弱的说法是为什么呢?)

 因为弱拘谨弱， 天然也就导致它给出的闭集性质要略微强少许. 事实上， 若  是弱闭集， 咱们查考它内部纵情强拘谨到  的序列 ， 即 ， 则对纵情  咱们就有 ， 这就证据  弱拘谨到 ， 而  是弱闭集， 因此 ， 进而证据  是闭集. 也即是说， 弱闭集一定是闭集. 这个性质就比较好了， 因为咱们咫尺考据一个谄谀是否是闭集多了一个技术. 相似的， 咱们不错找到反例使得反过来不建筑.

 另外， 在之前的研究中咱们还是看到， 在度量空间中拘谨的序列一定是有界序列， 那么弱拘谨是否也建筑呢? 它如实建筑， 而且咱们实质上早已讲授: 若  弱拘谨到 ， 则对纵情  就有 ， 进而数列  对总共的  齐是有界的， 则扩充4.1.3就指出  有界. 也即是说， 弱拘谨序列一定有界.

 对于强拘谨而言， 若  强拘谨于 ， 则定理1.1.5保证了 ， 那么对于弱拘谨而言是否有这一论断呢? 很糟糕， 不不错， 但是略微加强一下就不错了. 咱们查考 ， 则咱们料定若  弱拘谨于 ， 则 . 讲授也很平直了， 看到这个面目就应该梦意象 Hahn-Banach 定理的一系列扩充. 笔据定理3.4.6， 假定 ， 咱们就不错找到  使得  且 . 于是对于这个  咱们就有 ， 进而 ， 这就矛盾了.

 临了， 对于强拘谨， 咱们知谈  同期意味着 ， 那么对于弱拘谨是否亦然如斯呢? 一般而言莫得这样好的论断， 咱们只可得到比较弱的终结. 笔据扩充3.4.9， 咱们有

咱们咫尺职取某个  使得 ， 将其 作用于  就有

咱们咫尺取极限， 问题是右边极限有时存在， 为此咱们取下极限， 因为弱极限保证了左边极限存在， 且为 ， 于是就有

进而就得到

咱们将上述弱拘谨序列的性质汇总起来， 便捷后头调用:

定理4.1.10: 设  为赋范线性空间，  是它内部的弱拘谨序列， 且弱极限为 ， 则

(1)  有界;

(2)  属于  线性张成的闭包;

(3) ，

(4) 弱极限独一.

 咱们之前讲授过， 在度量空间中， 列紧等价于完全有界且完备， 在赋范线性空间中仅在有限维空间中列紧等价于有界闭， 而咫尺引入的弱列紧就有了一个很棒的性质: 在某种意思意思上它像个有限维空间. 这即是咱们底下给出的论断:

定理4.1.11: 设  为自反 Banach 空间， 则  是弱列紧集的充要要求是  是有界弱闭集.

证: 假定  是弱列紧集， 咱们咫尺讲授它是有界弱闭集. 假定它不是有界的， 那么对纵情 ， 存在  使得 . 因为它是弱列紧集， 因此存在弱拘谨子列 ， 笔据定理4.1.10， 这个子列必须有界， 但是笔据咱们的取法  对纵情  建筑， 这就矛盾了. 接下来咱们讲授它是弱闭集. 任取  中弱拘谨序列 ， 设它弱拘谨到 ， 由弱列紧可知其存在弱拘谨子列 ， 它的弱极限 ， 仿照之前讲授弱极限独一的花式， 咱们料定 ， 从而 ， 这就讲授  是弱闭集.

 接下来假定  是有界弱闭集， 咱们任取它内部的序列 ， 咱们要讲授它有弱拘谨子列， 具体讲授即是效法之前访佛命题的讲授花式， 这要求咱们构造出适合的不错被戒指的序列， 这亦然讲授中最难过的地点. 咱们是这样想的: 要是它有弱拘谨子列， 天然对应的极限就要在弱拘谨子列线性张成的闭包中(定理4.1.10)， 进而辅导咱们查考 . 因为  自反，  是其闭子空间， 笔据定理4.1.7可知  自反， 于是  和  等距线性同构. 另一方面， 笔据咱们的取法，  亦然可分的， 进而  可分， 而笔据定理3.4.11，  也可分， 进而它有茂密子集， 咱们设 . 因为 ， 咱们就不错将  作用到这些点上来了， 进而不错得到被戒指的关系:

因为  有界， 因此咱们不错假定此处的  对总共的  建筑， 而每当咱们固定一个  后， 上式右边齐是个有限值， 这标明对固定的 ，  是有界数列， 进而之前纯属的终结就不错使用了: 当  时， 咱们不错找到  使得  拘谨， 接下来咱们将  作用到  上， 相似不错找到  的子列  使得  拘谨， 依此类推， 咱们不错找到  的子列使得  拘谨.

 看到上头的纯属构造(见定理2.4.11讲授 Ascoli-Arzela 定理时的操作)， 接下来若何取就很纯属了: ， 咱们咫尺考据它弱拘谨. 按照咱们的取法， 对纵情 ，  齐拘谨， 而  在  中茂密， 笔据定理1.1.5， 对纵情  以及纵情 ， 存在  使得 . 咱们咫尺讲授  是 Cauchy 列， 以此细目其拘谨， 因为

而 ，  拘谨， 谄谀  可知  是 Cauchy 列， 从而拘谨， 大约说 对纵情  拘谨， 也即是说  作为畅达线性映射序列强拘谨， 于是笔据命题3.3.9存在  使得  强拘谨到 ， 也即是对纵情   有 ， 再次哄骗  的自反性咱们将  对应到某个 ， 则得到 ， 这证据  弱拘谨到 ， 不外这是在  中的泛函下的.

 咫尺咱们任取 ， 则由  对纵情  建筑不错细目一个 ， 因为  以及  咱们就得到 ， 这就标明  在  下弱拘谨到 ， 由  是弱闭集可知 ， 因此  是弱列紧集. 

 上述定理的讲授想路并不是那么平直， 况且屡次用到自反性质往来倒腾， 再议论到象征有点误导性， 因此阅读起来可能不是很凉爽. 不外好在它的论断更为蹙迫， 讲授比拟较而言价值就一般了(但是值得细细想考具体的讲授想路——固然写得如实有点乱).

 通过上述定理的讲授进程， 咱们不错得到一个陋劣论断: 假定  是自反空间，  是它内部的弱 Cauchy 列， 则  对纵情  齐是 Cauchy 列， 进而拘谨， 笔据命题3.3.9可知存在  使得  对纵情  建筑， 然后设  对应于 ， 就有  ， 从而讲授  弱拘谨到 ， 这就证据  是弱完备的. 咱们将其回来如下:

扩充4.1.12: 设  是自反空间， 则它弱完备.

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